Задача 57322

Тема:    [ Сумма длин диагоналей четырехугольника ]

Сложность: 5 Классы: 8

Условие

Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого имеют одинаковую длину?

Решение

Докажем, что число сторон у такого многоугольника не больше 5. Предположим, что все диагонали многоугольника  A₁...A_n имеют одинаковую длину и n 6. Тогда отрезки  A₁A₄, A₁A₅, A₂A₄ и A₂A₅ имеют одинаковую длину, так как они являются диагоналями этого многоугольника. Но в выпуклом четырехугольнике  A₁A₂A₄A₅ отрезки A₁A₅ и A₂A₄ являются противоположными сторонами, a A₁A₄ и A₂A₅ — диагоналями. Поэтому  A₁A₅ + A₂A₄ < A₁A₄ + A₂A₅. Получено противоречие.
Ясно также, что правильный пятиугольник и квадрат удовлетворяют требуемому условию.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	3
Название	Сумма длин диагоналей четырехугольника
Тема	Сумма длин диагоналей четырехугольника
задача
Номер	09.018