ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57322
Тема:    [ Сумма длин диагоналей четырехугольника ]
Сложность: 5
Классы: 8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого имеют одинаковую длину?

Решение

Докажем, что число сторон у такого многоугольника не больше 5. Предположим, что все диагонали многоугольника  A1...An имеют одинаковую длину и n $ \geq$ 6. Тогда отрезки  A1A4, A1A5, A2A4 и A2A5 имеют одинаковую длину, так как они являются диагоналями этого многоугольника. Но в выпуклом четырехугольнике  A1A2A4A5 отрезки A1A5 и A2A4 являются противоположными сторонами, a A1A4 и A2A5 — диагоналями. Поэтому  A1A5 + A2A4 < A1A4 + A2A5. Получено противоречие.
Ясно также, что правильный пятиугольник и квадрат удовлетворяют требуемому условию.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 9
Название Геометрические неравенства
Тема Геометрические неравенства
параграф
Номер 3
Название Сумма длин диагоналей четырехугольника
Тема Сумма длин диагоналей четырехугольника
задача
Номер 09.018

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .