Условие
Пусть дан выпуклый (2n + 1)-угольник
A1A3A5...A2n + 1A2...A2n. Докажите, что среди всех замкнутых ломаных с
вершинами в его вершинах наибольшую длину имеет
ломаная
A1A2A3...A2n + 1A1.
Решение
Рассмотрим произвольную замкнутую ломаную с вершинами
в вершинах данного многоугольника. Если у нее есть два непересекающихся
звена, то, заменив эти звенья на диагонали заданного ими
четырехугольника, мы увеличим сумму длин звеньев; при этом,
однако, одна замкнутая ломаная может распасться на две. Докажем,
что в случае нечетного числа звеньев после нескольких таких
операций в конце концов получится все же замкнутая ломаная (так
как сумма длин звеньев каждый раз увеличивается, таких операций
возможно лишь конечное число). Одна из получившихся замкнутых
ломаных должна иметь нечетное число звеньев, но тогда любое
из оставшихся звеньев не пересекается хотя бы с одним из звеньев
этой ломаной (см. задачу 23.1, а), значит, в конце концов, получится
лишь одна замкнутая ломаная.
Будем теперь последовательно строить ломаную с попарно
пересекающимися звеньями (рис.). Например, вершина 10 должна
лежать внутри заштрихованного треугольника, поэтому расположение
вершин именно такое, как на рис. Значит, выпуклому многоугольнику
A1A3A5...A2n + 1A2...A2n соответствует ломаная
A1A2A3...A2n + 1A1.
Источники и прецеденты использования
