Информация о задаче

Задача 57331

Тема:

[

Неравенство треугольника (прочее)

]

Сложность: 4+
Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

Точки C₁, A₁, B₁ взяты на сторонах AB, BC, CA треугольника ABC так, что BA₁ = $\lambda$ ^.BC, CB₁ = $\lambda$ ^.CA, AC₁ = $\lambda$ ^.AB, причем 1/2 < $\lambda$ < 1. Докажите, что периметр P треугольника ABC и периметр P₁ треугольника A₁B₁C₁ связаны неравенствами (2 $\lambda$ -1)P < P₁ < $\lambda$ P.

Решение

Возьмем на сторонах AB, BC, CA точки C₂, A₂, B₂ так, что A₁B₂| AB, B₁C₂| BC, C₁A₂| CA (рис.). Тогда A₁B₁ < A₁B₂ + B₂B₁ = (1 - $\lambda$ )AB + (2 $\lambda$ - 1)CA. Аналогично B₁C₁ < (1 - $\lambda$ )BC + (2 $\lambda$ - 1)AB и C₁A₁ < (1 - $\lambda$ )CA + (2 $\lambda$ - 1)BC. Складывая эти неравенства, получаем P₁ < $\lambda$ P.
Ясно, что A₁B₁ + A₁C > B₁C, т. е. A₁B₁ + (1 - $\lambda$ )BC > $\lambda$ ^.CA. Аналогично B₁C₁ + (1 - $\lambda$ )CA > $\lambda$ ^.AB и C₁A₁ + (1 - $\lambda$ )AB > $\lambda$ ^.BC. Складывая эти неравенства, получаем P₁ > (2 $\lambda$ - 1)P.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	4
Название	Разные задачи на неравенство треугольника
Тема	Неравенство треугольника (прочее)
задача
Номер	09.026