Задача 57342

Тема:    [ Неравенства с площадями ]

Сложность: 3 Классы: 9

Условие

Площади треугольников ABC, A₁B₁C₁, A₂B₂C₂ равны S, S₁, S₂ соответственно, причем  AB = A₁B₁ + A₂B₂, AC = A₁C₁ + A₂C₂, BC = B₁C₁ + B₂C₂. Докажите, что  S 4.

Решение

Воспользуемся формулой Герона:  S² = p(p - a)(p - b)(p - c). Так как  p - a = (p₁ - a₁) + (p₂ - a₂), a  (x + y)² 4xy, то  (p - a)² 4(p₁ - a₁)(p₂ - a₂). Аналогично  (p-b)² 4(p₁ - b₁)(p₂ - b₂),(p-c)² 4(p₁ - c₁)(p₂ - c₂) и  p² 4p₁p₂. Перемножая эти неравенства, получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	6
Название	Неравенства для площадей
Тема	Неравенства с площадями
задача
Номер	09.037