Информация о задаче

Задача 57343

Тема:

[

Неравенства с площадями

]

Сложность: 3+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

ABCD — выпуклый четырехугольник площади S. Угол между прямыми AB и CD равен a, угол между AD и BC равен $\beta$ . Докажите, что

AB^.CD sin $\displaystyle \alpha$ + AD^.BC sin $\displaystyle \beta$ $\displaystyle \leq$ 2S $\displaystyle \leq$ AB^.CD + AD^.BC.

Решение

Для определенности можно считать, что пересекаются лучи BA и CD, BC и AD (рис.). Тогда, если достроить треугольник ADC до параллелограмма ADCK, точка K окажется внутри четырехугольника ABCD. Поэтому 2S $\geq$ 2S_ABK + 2S_BCK = AB^.AK sin $\alpha$ + BC^.CK sin $\beta$ = AB^.CD sin $\alpha$ + BC^.AD sin $\beta$ . Равенство достигается, если точка D лежит на отрезке AC.
Пусть точка D' симметрична точке D относительно серединного перпендикуляра к отрезку AC. Тогда 2S = 2S_ABCD' = 2S_ABD' + 2S_BCD' $\leq$ AB^.AD' + BC^.CD' = AB^.CD + BC^.AD.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	6
Название	Неравенства для площадей
Тема	Неравенства с площадями
задача
Номер	09.038