Информация о задаче

Задача 57345

Тема:

[

Неравенства с площадями

]

Сложность: 3+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Площади треугольников ABC и A₁B₁C₁ равны S и S₁, причем треугольник ABC не тупоугольный. Наибольшее из отношений a₁/a, b₁/b и c₁/c равно k. Докажите, что S₁ $\leq$ k²S.

Решение

Неравенства $\alpha$ < $\alpha_{1}^{}$ , $\beta$ < $\beta_{1}^{}$ и $\gamma$ < $\gamma_{1}^{}$ не могут выполняться одновременно. Поэтому, например, $\alpha_{1}^{}$ $\leq$ $\alpha$ $\leq$ 90^o, а значит, sin $\alpha_{1}^{}$ $\leq$ sin $\alpha$ . Следовательно, 2S₁ = a₁b₁sin $\alpha_{1}^{}$ $\leq$ k²ab sin $\alpha$ = 2k²S.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	6
Название	Неравенства для площадей
Тема	Неравенства с площадями
задача
Номер	09.040