Задача 57346

Тема:    [ Неравенства с площадями ]

Сложность: 4 Классы: 9

Условие

а) Точки B, C и D делят (меньшую) дугу AE окружности на четыре равные части. Докажите, что  S_ACE < 8S_BCD.
б) Из точки A проведены касательные AB и AC к окружности. Через середину D (меньшей) дуги BC проведена касательная, пересекающая отрезки AB и AC в точках M и N. Докажите, что  S_BCD < 2S_MAN.

Решение

а) Пусть хорды AE и BD пересекают диаметр CM в точках K и L. Тогда  AC² = CK ^. CM и  BC² = CL ^. CM. Значит,  CK/CL = AC²/BC² < 4. Кроме того,  AE/BD = AE/AC < 2. Следовательно, S_ACE/S_BCD = AE ^. CK/(BD ^. CL) < 8.
б) Пусть H — середина отрезка BC. Так как  CBD = BCD = ABD, то D — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Поэтому  AD/DH = AB/BH > 1. Следовательно,  S_MAN > S_ABC/4 и  S_BCD = BC ^. DH/2 < BC ^. AH/4 = S_ABC/2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	6
Название	Неравенства для площадей
Тема	Неравенства с площадями
задача
Номер	09.041