Условие
Все стороны выпуклого многоугольника отодвигаются
во внешнюю сторону на расстояние
h. Докажите, что его площадь при
этом увеличится больше чем на
Ph +
h2, где
P — периметр.
Решение
Отрежем от полученного многоугольника прямоугольники
со стороной
h, построенные внешним образом на сторонах исходного
многоугольника (рис.). При этом кроме исходного многоугольника
останутся еще некоторые четырехугольники, из которых можно
составить многоугольник, описанный
около окружности радиуса
h.
Сумма площадей этих четырехугольников больше площади окружности
радиуса
h, т. е. больше
h2. Ясно также, что сумма площадей
отрезанных прямоугольников равна
Ph.
Источники и прецеденты использования
