Условие
а) Докажите, что в любом выпуклом шестиугольнике
площади S найдется диагональ, отсекающая от него треугольник
площади не больше S/6.
б) Докажите, что в любом выпуклом восьмиугольнике площади S найдется
диагональ, отсекающая от него треугольник площади не больше S/8.
Решение
а) Обозначим точки пересечения диагоналей AD и CF, CF
и BE, BE и AD через P, Q, R соответственно
(рис.). Четырехугольники ABCP и CDEQ не имеют
общих внутренних точек, так как стороны CP и QC лежат
на прямой CF, а отрезки AB и DE — по разные стороны
от нее. Аналогично четырехугольники
ABCP, CDEQ и EFAR
не имеют попарно общих внутренних точек. Поэтому сумма их
площадей не превосходит S. Следовательно, сумма площадей
треугольников
ABP, BCP, CDQ, DEQ, EFR, FAR не
превосходит S, т. е. площадь одного из них,
например ABP, не превосходит S/6. Точка P лежит на
отрезке CF, поэтому либо точка C, либо точка F
удалена от прямой AB не больше, чем точка P.
Следовательно, либо
SABC 
SABP S/6,
либо
SABF SABP S/6.
б) Пусть ABCDEFGH — выпуклый восьмиугольник (рис.). Докажем
сначала, что четырехугольники
ABEF, BCFG, CDGH и DEHA имеют
общую точку. Ясно, что пересечением ABEF и CDGH является
некоторый выпуклый четырехугольник KLMN. Отрезки AF
и HC лежат внутри углов DAH и AHE соответственно, поэтому
точка K лежит внутри четырехугольника DEHA. Аналогично доказывается,
что точка M лежит внутри четырехугольника DEHA,
т. е. весь отрезок KM лежит внутри его. Аналогично отрезок LN
лежит внутри четырехугольника BCFG. Точка пересечения диагоналей KM
и LN принадлежит всем нашим четырехугольникам; обозначим
ее O. Разобьем восьмиугольник на треугольники, соединив точку O
с вершинами. Площадь одного из этих треугольников, например ABO,
не превосходит S/8. Отрезок AO пересекает сторону KL
в некоторой точке P, поэтому
SABP SABO S/8. Так как
точка P лежит на диагонали CH, то либо
SABC SABP S/8, либо
SABH SABP S/8.
Источники и прецеденты использования
