Задача 57350

Тема:    [ Неравенства с площадями ]

Сложность: 5+ Классы: 9

Условие

а) Докажите, что в любом выпуклом шестиугольнике площади S найдется диагональ, отсекающая от него треугольник площади не больше S/6.
б) Докажите, что в любом выпуклом восьмиугольнике площади S найдется диагональ, отсекающая от него треугольник площади не больше S/8.

Решение

а) Обозначим точки пересечения диагоналей AD и CF, CF и BE, BE и AD через P, Q, R соответственно (рис.). Четырехугольники ABCP и CDEQ не имеют общих внутренних точек, так как стороны CP и QC лежат на прямой CF, а отрезки AB и DE — по разные стороны от нее. Аналогично четырехугольники  ABCP, CDEQ и EFAR не имеют попарно общих внутренних точек. Поэтому сумма их площадей не превосходит S. Следовательно, сумма площадей треугольников  ABP, BCP, CDQ, DEQ, EFR, FAR не превосходит S, т. е. площадь одного из них, например ABP, не превосходит S/6. Точка P лежит на отрезке CF, поэтому либо точка C, либо точка F удалена от прямой AB не больше, чем точка P. Следовательно, либо  S_ABC S_ABP S/6, либо  S_ABF S_ABP S/6.
б) Пусть ABCDEFGH — выпуклый восьмиугольник (рис.). Докажем сначала, что четырехугольники  ABEF, BCFG, CDGH и DEHA имеют общую точку. Ясно, что пересечением ABEF и CDGH является некоторый выпуклый четырехугольник KLMN. Отрезки AF и HC лежат внутри углов DAH и AHE соответственно, поэтому точка K лежит внутри четырехугольника DEHA. Аналогично доказывается, что точка M лежит внутри четырехугольника DEHA, т. е. весь отрезок KM лежит внутри его. Аналогично отрезок LN лежит внутри четырехугольника BCFG. Точка пересечения диагоналей KM и LN принадлежит всем нашим четырехугольникам; обозначим ее O. Разобьем восьмиугольник на треугольники, соединив точку O с вершинами. Площадь одного из этих треугольников, например ABO, не превосходит S/8. Отрезок AO пересекает сторону KL в некоторой точке P, поэтому  S_ABP S_ABO S/8. Так как точка P лежит на диагонали CH, то либо  S_ABC S_ABP S/8, либо  S_ABH S_ABP S/8.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	6
Название	Неравенства для площадей
Тема	Неравенства с площадями
задача
Номер	09.045