Информация о задаче

Задача 57351

Тема:

[

Неравенства с площадями

]

Сложность: 5+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Проекции многоугольника на ось OX, биссектрису 1-го и 3-го координатных углов, ось OY и биссектрису 2-го и 4-го координатных углов равны соответственно 4, 3 $\sqrt{2}$ , 5, 4 $\sqrt{2}$ . Площадь многоугольника — S. Докажите, что S $\le$ 17, 5.

Решение

Для каждой из четырёх данных проекций многоугольника рассмотрим полосу, состоящую из точек, которые проецируются на данную проекцию. Каждая граница такой полосы пересекает все остальные полосы, поскольку иначе проекция многоугольника была бы меньше, чем нужно. Поэтому данный многоугольник лежит внутри фигуры, которая получается при отрезании от прямоугольника размером 4×5 треугольников со сторонами a, 3 - a, b и 1 - b (рис.). Сумма площадей отрезанных треугольников равна

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ a² + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (3 - a)² + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ b² + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (1 - b)² = (a - $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ )² + $\displaystyle {\textstyle\frac{9}{4}}$ + (b - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ )² + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ $\displaystyle \ge$ $\displaystyle {\textstyle\frac{10}{4}}$ = 2, 5.

Поэтому площадь фигуры не превосходит 20 - 2, 5 = 17, 5.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	6
Название	Неравенства для площадей
Тема	Неравенства с площадями
задача
Номер	09.045B