Условие
Многоугольник площади B вписан в окружность
площади A и описан вокруг окружности площади C. Докажите,
что
2B 
A + C.
Решение
Пусть O — центр гомотетии, переводящей вписанную
окружность в описанную. Разобьем плоскость лучами, выходящими из
точки O и проходящими через вершины многоугольника и точки
касания его сторон с вписанной окружностью (рис.). Достаточно
доказать требуемое неравенство для частей кругов и многоугольника,
заключенных внутри каждого из образованных этими
лучами углов.
Пусть стороны угла пересекают вписанную и описанную окружности в
точках P, Q и R, S соответственно, причем P — точка касания,
а S — вершина многоугольника. Площади частей кругов больше
площадей треугольников OPQ и ORS, поэтому достаточно доказать, что
2SOPS SOPQ + SORS. Так как
2SOPS = 2SOPQ + 2SPQS
и
SORS = SOPQ + SPQS + SPRS, остается доказать,
что
SPQS SPRS. Это неравенство очевидно, так как высоты
треугольников PQS и PRS, опущенные на основания PQ и RS, равны,
a PQ < RS.
Источники и прецеденты использования
