Условие
Многоугольник площади
B вписан в окружность
площади
A и описан вокруг окружности площади
C. Докажите,
что
2
B 
A +
C.
Решение
Пусть
O — центр гомотетии, переводящей вписанную
окружность в описанную. Разобьем плоскость лучами, выходящими из
точки
O и проходящими через вершины многоугольника и точки
касания его сторон с вписанной окружностью (рис.). Достаточно
доказать требуемое неравенство для частей кругов и многоугольника,
заключенных внутри каждого из образованных этими
лучами углов.
Пусть стороны угла пересекают вписанную и описанную окружности в
точках
P,
Q и
R,
S соответственно, причем
P — точка касания,
а
S — вершина многоугольника. Площади частей кругов больше
площадей треугольников
OPQ и
ORS, поэтому достаточно доказать, что
2
SOPS SOPQ +
SORS. Так как
2
SOPS = 2
SOPQ + 2
SPQS
и
SORS =
SOPQ +
SPQS +
SPRS, остается доказать,
что
SPQS SPRS. Это неравенство очевидно, так как высоты
треугольников
PQS и
PRS, опущенные на основания
PQ и
RS, равны,
a
PQ <
RS.
Источники и прецеденты использования
