Задача 57356

Тема:    [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

В круг радиуса 1 помещено два треугольника, площадь каждого из которых больше 1. Докажите, что эти треугольники пересекаются.

Решение

Достаточно доказать, что оба треугольника содержат центр O круга. Докажем, что если треугольник ABC, помещенный в круг радиуса 1, не содержит центра круга, то его площадь меньше 1. В самом деле, для любой точки, лежащей вне треугольника, найдется прямая, проходящая через две вершины и отделяющая эту точку от третьей вершины. Пусть для определенности прямая AB разделяет точки C и O. Тогда h_c < 1 и AB < 2, поэтому  S = h_c ^. AB/2 < 1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	7
Название	Площадь. Одна фигура лежит внутри другой
Тема	Площадь. Одна фигура лежит внутри другой
задача
Номер	09.050