Условие
В круг радиуса 1 помещено два треугольника,
площадь каждого из которых больше 1. Докажите, что эти
треугольники пересекаются.
Решение
Достаточно доказать, что оба треугольника содержат
центр
O круга. Докажем, что если треугольник
ABC, помещенный в круг
радиуса 1, не содержит центра круга, то его площадь меньше 1. В самом
деле, для любой точки, лежащей вне треугольника, найдется прямая,
проходящая через две вершины и отделяющая эту точку от третьей вершины.
Пусть для определенности прямая
AB разделяет точки
C и
O.
Тогда
hc < 1 и
AB < 2, поэтому
S =
hc . AB/2 < 1.
Источники и прецеденты использования
