В таблице 10×10 записано 100 различных чисел. За ход можно выбрать любой составленный из клеток прямоугольник и переставить все числа в нём симметрично относительно его центра ("повернуть прямоугольник на 180°"). Всегда ли за 99 ходов можно добиться, чтобы числа возрастали в каждой строке слева направо и в каждом столбце – снизу вверх?

   Решение

Тема:    [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ]

Сложность: 5 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что площадь треугольника, вершины которого лежат на сторонах параллелограмма, не превосходит половины площади параллелограмма.

Решение

Рассмотрим сначала такой случай: две вершины A и B треугольника ABC лежат на одной стороне PQ параллелограмма. Тогда AB PQ и высота, опущенная на сторону AB, не больше высоты параллелограмма. Поэтому площадь треугольника ABC не больше половины площади параллелограмма.
Если же вершины треугольника лежат на разных сторонах параллелограмма, то две из них лежат на противоположных сторонах. Проведем через третью вершину треугольника прямую, параллельную этим сторонам (рис.). Она разрезает параллелограмм на два параллелограмма, а треугольник — на два треугольника, причем у обоих треугольников две вершины лежат на сторонах параллелограмма. Приходим к рассмотренному случаю.

Источники и прецеденты использования