Задача 57360

Тема:    [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Докажите, что любой остроугольный треугольник площади 1 можно поместить в прямоугольный треугольник площади .

Решение

Пусть M — середина наибольшей стороны BC данного остроугольного треугольника ABC. Окружность радиуса MA с центром M пересекает лучи MB и MC в точках B₁ и C₁. Так как  BAC < 90^o, то MB < MB₁. Пусть для определенности  AMB AMC, т. е.  AMB 90^o. Тогда  AM² + MB² AB² BC² = 4MB², т. е.  AM BM. Если AH — высота треугольника ABC, то  AH ^. BC = 2, а значит,  S_AB1C1 = B₁C₁ ^. AH/2 = AM ^. AH BM ^. AH = .

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	7
Название	Площадь. Одна фигура лежит внутри другой
Тема	Площадь. Одна фигура лежит внутри другой
задача
Номер	09.054