Информация о задаче

Задача 57360

Тема:

[

Площадь. Одна фигура лежит внутри другой

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что любой остроугольный треугольник площади 1 можно поместить в прямоугольный треугольник площади $\sqrt{3}$ .

Решение

Пусть M — середина наибольшей стороны BC данного остроугольного треугольника ABC. Окружность радиуса MA с центром M пересекает лучи MB и MC в точках B₁ и C₁. Так как $\angle$ BAC < 90^o, то MB < MB₁. Пусть для определенности $\angle$ AMB $\leq$ $\angle$ AMC, т. е. $\angle$ AMB $\leq$ 90^o. Тогда AM² + MB² $\leq$ AB² $\leq$ BC² = 4MB², т. е. AM $\leq$ $\sqrt{3}$ BM. Если AH — высота треугольника ABC, то AH^.BC = 2, а значит, S_AB₁C₁ = B₁C₁^.AH/2 = AM^.AH $\leq$ $\sqrt{3}$ BM^.AH = $\sqrt{3}$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	7
Название	Площадь. Одна фигура лежит внутри другой
Тема	Площадь. Одна фигура лежит внутри другой
задача
Номер	09.054