Условие
а) Докажите, что выпуклый многоугольник площади S
можно поместить в некоторый прямоугольник площади не более 2S.
б) Докажите, что в выпуклый многоугольник площади S
можно вписать параллелограмм площади не менее S/2.
Решение
а) Пусть AB — наибольшая диагональ или сторона
данного многоугольника M. Многоугольник M заключен внутри полосы,
образованной перпендикулярами к отрезку AB, проходящими через
точки A и B. Проведем к многоугольнику M две опорные прямые,
параллельные AB; пусть они пересекают многоугольник M в точках C
и D. В результате многоугольник M заключен в прямоугольник, площадь
которого равна
2SABC + 2SABD 
2S.
б) Пусть M — исходный многоугольник, l — произвольная прямая.
Рассмотрим многоугольник M1, одна из сторон которого —
проекция M на l, а длины сечений многоугольников M и M1 любой
прямой, перпендикулярной l, равны (рис.). Легко проверить, что
многоугольник M1 тоже выпуклый, причем его площадь равна S.
Пусть A — наиболее удаленная от l точка многоугольника M1.
Прямая, равноудаленная от точки A и прямой l, пересекает стороны
многоугольника M1 в точках B и C. Проведем через точки B
и C опорные прямые. В результате вокруг многоугольника M1
будет описана трапеция (через точку A тоже можно провести
опорную прямую); площадь этой трапеции не менее S. Если высота
трапеции (т. е. расстояние от точки A до прямой l) равна h, то
ее площадь равна h . BC, а значит,
h . BC 
S. Рассмотрим
сечения PQ и RS многоугольника M прямыми, перпендикулярными l и
проходящими через B и C. Длины этих сечений равны h/2,
поэтому PQRS — параллелограмм, причем его площадь равна
BC . h/2 S/2.
Источники и прецеденты использования
