Задача 57362
|
|
 |
Условие
Докажите, что в любой выпуклый многоугольник
площади 1 можно поместить треугольник, площадь которого не меньше:
а) 1/4; б) 3/8.
Решение
а) Заключим многоугольник в полосу, образованную
параллельными прямыми. Будем сдвигать эти прямые параллельно
до тех пор, пока на каждую из них не попадут некоторые вершины A
и B многоугольника. Затем проделаем то же самое для полосы,
образованной прямыми, параллельными AB. На эти прямые попадут
некоторые вершины C и D (рис.). Исходный многоугольник
заключен в параллелограмм, поэтому площадь этого параллелограмма
не меньше 1. С другой стороны, сумма площадей треугольников ACB
и ADB равна половине площади параллелограмма, поэтому площадь одного
из этих треугольников не меньше 1/4.
б) Как и в задаче а), заключим многоугольник в полосу, образованную параллельными прямыми, так, чтобы вершины A и B лежали на этих прямых (рис.). Пусть ширина этой полосы равна d. Проведем три прямые, делящие эту полосу на равные полосы шириной d /4. Пусть первая и третья прямые пересекают стороны многоугольника в точках K, L и M, N соответственно.
Продолжим стороны, на которых лежат точки K, L, M и N, до пересечения со сторонами исходной полосы и с прямой, делящей ее пополам. При этом образуются две трапеции со средними линиями KL и MN, высоты которых равны d /2. Так как эти трапеции покрывают весь многоугольник, сумма их площадей не меньше его площади, т. е. (d . KL + d . MN)/2
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 9 |
| Название | Геометрические неравенства |
| Тема | Геометрические неравенства |
| параграф | |
| Номер | 7 |
| Название | Площадь. Одна фигура лежит внутри другой |
| Тема | Площадь. Одна фигура лежит внутри другой |
| задача | |
| Номер | 09.056 |
