ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57362
Тема:    [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ]
Сложность: 5+
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что в любой выпуклый многоугольник площади 1 можно поместить треугольник, площадь которого не меньше: а) 1/4; б) 3/8.

Решение

а) Заключим многоугольник в полосу, образованную параллельными прямыми. Будем сдвигать эти прямые параллельно до тех пор, пока на каждую из них не попадут некоторые вершины A и B многоугольника. Затем проделаем то же самое для полосы, образованной прямыми, параллельными AB. На эти прямые попадут некоторые вершины C и D (рис.). Исходный многоугольник заключен в параллелограмм, поэтому площадь этого параллелограмма не меньше 1. С другой стороны, сумма площадей треугольников ACB и ADB равна половине площади параллелограмма, поэтому площадь одного из этих треугольников не меньше 1/4.


б) Как и в задаче а), заключим многоугольник в полосу, образованную параллельными прямыми, так, чтобы вершины A и B лежали на этих прямых (рис.). Пусть ширина этой полосы равна d. Проведем три прямые, делящие эту полосу на равные полосы шириной d /4. Пусть первая и третья прямые пересекают стороны многоугольника в точках K, L и M, N соответственно.
Продолжим стороны, на которых лежат точки K, L, M и N, до пересечения со сторонами исходной полосы и с прямой, делящей ее пополам. При этом образуются две трапеции со средними линиями KL и MN, высоты которых равны d /2. Так как эти трапеции покрывают весь многоугольник, сумма их площадей не меньше его площади, т. е.  (d . KL + d . MN)/2 $ \geq$ 1. Сумма площадей треугольников AMN и BKL, содержащихся в исходном многоугольнике, равна  (3d . MN + 3d . KL)/8 $ \geq$ 3/4. Поэтому площадь одного из этих треугольников не меньше 3/8.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 9
Название Геометрические неравенства
Тема Геометрические неравенства
параграф
Номер 7
Название Площадь. Одна фигура лежит внутри другой
Тема Площадь. Одна фигура лежит внутри другой
задача
Номер 09.056

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .