ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57363
Тема:    [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ]
Сложность: 6
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Выпуклый n-угольник помещен в квадрат со стороной 1. Докажите, что найдутся три такие вершины A, B и C этого n-угольника, что площадь треугольника ABC не превосходит: а) 8/n2; б) 16$ \pi$/n3.

Решение

Докажем, что найдутся даже три последовательные вершины, удовлетворяющие требуемому условию. Пусть $ \alpha_{i}^{}$ — угол между i-й и (i + 1)-й сторонами,  $ \beta_{i}^{}$ = $ \pi$ - $ \alpha_{i}^{}$, а ai — длина i-й стороны.
а) Площадь треугольника, образованного i-й и (i + 1)-й сторонами, равна  Si = (aiai + 1sin$ \alpha_{i}^{}$)/2. Пусть S — наименьшая из этих площадей. Тогда  2S $ \leq$ aiai + 1sin$ \alpha_{i}^{}$, поэтому  (2S)n $ \leq$ (a12...an2)(sin$ \alpha_{1}^{}$...sin$ \alpha_{n}^{}$) $ \leq$ a12...an2. Согласно неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим  (a1...an)1/n $ \leq$ (a1 + ... + an)/n, поэтому  2S $ \leq$ (a1...an)2/n $ \leq$ (a1 + ... + an)2/n2. Так как  ai $ \leq$ pi + qi, где pi и qi — проекции i-й стороны на вертикальную и горизонтальную стороны квадрата, то  a1 + ... + an $ \leq$ (p1 + ... + pn) + (q1 + ... + qn) $ \leq$ 4. Поэтому  2S $ \leq$ 16n2, т. е.  S $ \leq$ 8/n2.
б) Воспользуемся доказанным выше неравенством  2S $ \leq$ (a1...an)2/n(sin$ \alpha_{1}^{}$...sin$ \alpha_{n}^{}$)1/n $ \leq$ $ {\frac{16}{n^2}}$(sin$ \alpha_{1}^{}$...sin$ \alpha_{n}^{}$)1/n. Так как  sin$ \alpha_{i}^{}$ = sin$ \beta_{i}^{}$ и  $ \beta_{1}^{}$ + ... + $ \beta_{n}^{}$ = 2$ \pi$, то  (sin$ \alpha_{1}^{}$...sin$ \alpha_{n}^{}$)1/n = (sin$ \beta_{1}^{}$...sin$ \beta_{n}^{}$)1/n $ \leq$ ($ \beta_{1}^{}$ + ... + $ \beta_{n}^{}$)/n = 2$ \pi$/n. Поэтому  2S $ \leq$ 32$ \pi$/n3, т. е.  S $ \leq$ 16$ \pi$/n3.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 9
Название Геометрические неравенства
Тема Геометрические неравенства
параграф
Номер 7
Название Площадь. Одна фигура лежит внутри другой
Тема Площадь. Одна фигура лежит внутри другой
задача
Номер 09.057

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .