Информация о задаче

Задача 57363

Тема:

[

Площадь. Одна фигура лежит внутри другой

]

Сложность: 6
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Выпуклый n-угольник помещен в квадрат со стороной 1. Докажите, что найдутся три такие вершины A, B и C этого n-угольника, что площадь треугольника ABC не превосходит: а) 8/n²; б) 16 $\pi$ /n³.

Решение

Докажем, что найдутся даже три последовательные вершины, удовлетворяющие требуемому условию. Пусть $\alpha_{i}^{}$ — угол между i-й и (i + 1)-й сторонами, $\beta_{i}^{}$ = $\pi$ - $\alpha_{i}^{}$ , а a_i — длина i-й стороны.
а) Площадь треугольника, образованного i-й и (i + 1)-й сторонами, равна S_i = (a_ia_{i + 1}sin $\alpha_{i}^{}$ )/2. Пусть S — наименьшая из этих площадей. Тогда 2S $\leq$ a_ia_{i + 1}sin $\alpha_{i}^{}$ , поэтому (2S)ⁿ $\leq$ (a₁²...a_n²)(sin $\alpha_{1}^{}$ ...sin $\alpha_{n}^{}$ ) $\leq$ a₁²...a_n². Согласно неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим (a₁...a_n)^1/n $\leq$ (a₁ + ... + a_n)/n, поэтому 2S $\leq$ (a₁...a_n)^2/n $\leq$ (a₁ + ... + a_n)²/n². Так как a_i $\leq$ p_i + q_i, где p_i и q_i — проекции i-й стороны на вертикальную и горизонтальную стороны квадрата, то a₁ + ... + a_n $\leq$ (p₁ + ... + p_n) + (q₁ + ... + q_n) $\leq$ 4. Поэтому 2S $\leq$ 16n², т. е. S $\leq$ 8/n².
б) Воспользуемся доказанным выше неравенством 2S $\leq$ (a₁...a_n)^2/n(sin $\alpha_{1}^{}$ ...sin $\alpha_{n}^{}$ )^1/n $\leq$ ${\frac{16}{n^2}}$ (sin $\alpha_{1}^{}$ ...sin $\alpha_{n}^{}$ )^1/n. Так как sin $\alpha_{i}^{}$ = sin $\beta_{i}^{}$ и $\beta_{1}^{}$ + ... + $\beta_{n}^{}$ = 2 $\pi$ , то (sin $\alpha_{1}^{}$ ...sin $\alpha_{n}^{}$ )^1/n = (sin $\beta_{1}^{}$ ...sin $\beta_{n}^{}$ )^1/n $\leq$ ( $\beta_{1}^{}$ + ... + $\beta_{n}^{}$ )/n = 2 $\pi$ /n. Поэтому 2S $\leq$ 32 $\pi$ /n³, т. е. S $\leq$ 16 $\pi$ /n³.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	7
Название	Площадь. Одна фигура лежит внутри другой
Тема	Площадь. Одна фигура лежит внутри другой
задача
Номер	09.057