Задача 57373

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Четырехугольник (неравенства) ] [ Теорема Птолемея ] [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10 Название задачи: Неравенство Птолемея.

Условие

Дан четырёхугольник ABCD. Докажите, что  AC·BD ≤ AB·CD + BC·AD.

Решение

Отложим на лучах AB, AC и AD отрезки AB', AC' и AD' длиной ¹/_AB, ¹/_AC и ¹/_AD. Тогда  AB : AC = AC' : AB',  то есть треугольники ABC и AC'B' подобны. Коэффициент подобия этих треугольников равен ¹/_AB·AC, поэтому  B'C' = ^BC/_AB·AC.  Аналогично  C'D' = ^CD/_AC·AD  и   B'D' = ^BD/_AB·AD.  Подставив эти выражения в неравенство  B'D' ≤ B'C' + C'D'  и домножив обе части на AB·AC·AD, получим требуемое.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	9
Название	Четырехугольник
Тема	Четырехугольник (неравенства)
задача
Номер	09.067