Задача 57374

Тема:    [ Четырехугольник (неравенства) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Пусть M и N — середины сторон BC и CD выпуклого четырехугольника ABCD. Докажите, что  S_ABCD < 4S_AMN.

Решение

Ясно, что S_ABCD = S_ABC + S_ACD = 2S_AMC + 2S_ANC = 2(S_AMN + S_CMN). Если отрезок AM пересекает диагональ BD в точке A₁, то  S_CMN = S_A1MN < S_AMN. Значит,  S_ABCD < 4S_AMN.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	9
Название	Четырехугольник
Тема	Четырехугольник (неравенства)
задача
Номер	09.068