Условие
Отрезок
KL проходит через точку пересечения диагоналей
четырехугольника
ABCD, а концы его лежат на сторонах
AB и
CD.
Докажите, что длина отрезка
KL не превосходит длины одной из
диагоналей.
Решение
Проведем через концы отрезка
KL прямые, ему
перпендикулярные, и рассмотрим проекции на них вершин четырехугольника,
а также точки пересечения с ними прямых
AC и
BD (рис.). Пусть
для определенности точка
A лежит внутри полосы, заданной этими
прямыми, а точка
B — вне ее. Тогда можно считать, что
D лежит
внутри полосы, так как иначе
BD >
KL, и доказательство завершено. Так
как
то либо
AA' 
CC' (и тогда
AC >
KL), либо
BB' 
DD' (и
тогда
BD >
KL).
Источники и прецеденты использования
