Информация о задаче

Задача 57380

Тема:

[

Многоугольники (неравенства)

]

Сложность: 2
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если углы выпуклого пятиугольника образуют арифметическую прогрессию, то каждый из них больше 36^o.

Решение

Пусть углы пятиугольника равны $\alpha$ , $\alpha$ + $\gamma$ , $\alpha$ + 2 $\gamma$ , $\alpha$ + 3 $\gamma$ , $\alpha$ + 4 $\gamma$ , где $\alpha$ , $\gamma$ $\geq$ 0. Так как сумма углов пятиугольника равна 3 $\pi$ , то 5 $\alpha$ + 10 $\gamma$ = 3 $\pi$ . Из выпуклости пятиугольника следует, что все его углы меньше $\pi$ , т. е. $\alpha$ + 4 $\gamma$ < $\pi$ , или -5 $\alpha$ /2 - 10 $\gamma$ > - 5 $\pi$ /2. Складывая последнее неравенство с равенством 5 $\alpha$ + 10 $\gamma$ = 3 $\pi$ , получаем 5 $\alpha$ /2 > $\pi$ /2, т. е. $\alpha$ > $\pi$ /5 = 36^o.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	10
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники (неравенства)
задача
Номер	09.074