ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57380
Тема:    [ Многоугольники (неравенства) ]
Сложность: 2
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если углы выпуклого пятиугольника образуют арифметическую прогрессию, то каждый из них больше  36o.

Решение

Пусть углы пятиугольника равны  $ \alpha$,$ \alpha$ + $ \gamma$,$ \alpha$ + 2$ \gamma$,$ \alpha$ + 3$ \gamma$,$ \alpha$ + 4$ \gamma$, где  $ \alpha$,$ \gamma$ $ \geq$ 0. Так как сумма углов пятиугольника равна 3$ \pi$, то  5$ \alpha$ + 10$ \gamma$ = 3$ \pi$. Из выпуклости пятиугольника следует, что все его углы меньше $ \pi$, т. е.  $ \alpha$ + 4$ \gamma$ < $ \pi$, или  -5$ \alpha$/2 - 10$ \gamma$ > - 5$ \pi$/2. Складывая последнее неравенство с равенством  5$ \alpha$ + 10$ \gamma$ = 3$ \pi$, получаем  5$ \alpha$/2 > $ \pi$/2, т. е.  $ \alpha$ > $ \pi$/5 = 36o.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 9
Название Геометрические неравенства
Тема Геометрические неравенства
параграф
Номер 10
Название Многоугольники
Тема Многоугольники (неравенства)
задача
Номер 09.074

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .