Условие
Докажите, что если стороны выпуклого
шестиугольника
ABCDEF равны 1, то радиус описанной окружности одного
из треугольников
ACE и
BDF не превосходит 1.
Решение
Предположим, что радиусы описанных окружностей
треугольников
ACE и
BDF больше 1. Пусть
O — центр описанной
окружности треугольника
ACE. Тогда
ABC >
AOC,
CDE >
COE и
EFA >
EOA, а значит,
B +
D +
F > 2
. Аналогично
A +
C +
E > 2
,
т. е. сумма углов шестиугольника
ABCDEF больше 4
. Получено
противоречие.
Замечание.
Аналогично можно доказать, что радиус описанной окружности одного из
треугольников
ACE и
BDF не меньше 1.
Источники и прецеденты использования
