Задача 57385

Тема:    [ Многоугольники (неравенства) ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Семиугольник  A₁...A₇ вписан в окружность. Докажите, что если центр этой окружности лежит внутри его, то сумма углов при вершинах  A₁, A₃, A₅ меньше  450^o.

Решение

Так как  A₁ = 180^o - A₂A₇/2,A₃ = 180^o - A₄A₂/2 и  A₅ = 180^o - A₆A₄/2, то A₁ + A₃ + A₅ = 2 ^. 180^o + (360^o - A₂A₇ - A₄A₂ - A₆A₄)/2 = 2 ^. 180^o + A₇A₆/2. Поскольку центр окружности лежит внутри семиугольника, то  A₇A₆ < 180^o, поэтому A₁ + A₃ + A₅ < 360^o + 90^o = 450^o.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	10
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники (неравенства)
задача
Номер	09.079