Условие
Докажите, что из сторон выпуклого многоугольника
периметра
P можно составить два отрезка, длины которых отличаются не
более чем на
P/3.
Решение
Возьмем отрезок длиной
P и расположим на нем стороны
многоугольника следующим образом: на одном конце отрезка поместим
наибольшую сторону, на другом — следующую за ней по величине, а все
остальные стороны поместим между ними. Так как любая сторона
многоугольника меньше
P/2, середина
O отрезка не может находиться на
этих двух наибольших сторонах. Длина стороны, на которой находится
точка
O, не превосходит
P/3 (иначе первые две стороны тоже были бы
больше
P/3 и сумма трех сторон была бы больше
P), поэтому одна
из ее вершин удалена от
O не более чем на
P/6. Эта вершина
разбивает отрезок на два искомых отрезка, так как разность их длин не
превосходит
2
. P/6 =
P/3.
Источники и прецеденты использования
