Условие
а) Выпуклые многоугольники
A1...An
и
B1...Bn таковы, что все их соответственные стороны,
кроме A1An и B1Bn, равны и
A2 
B2,...,An - 1 Bn - 1, причем хотя бы одно из неравенств
строгое. Докажите, что
A1An > B1Bn.
б) Соответственные стороны неравных многоугольников
A1...An
и
B1...Bn равны. Запишем возле каждой вершины
многоугольника
A1...An знак разности
Ai - Bi.
Докажите, что при n 4 соседних вершин с разными знаками будет по
крайней мере четыре пары. (Вершины с нулевой разностью выбрасываются из
рассмотрения: две вершины, между которыми стоят только вершины с
нулевой разностью, считаются соседними.)
Решение
а) Предположим сначала, что
Ai > Bi, а
для всех остальных рассматриваемых пар углов имеет место равенство.
Расположим многоугольники так, чтобы вершины
A1,..., Ai совпали
с
B1,..., Bi. В треугольниках A1AiAn и A1AiBn
стороны AiAn и AiBn равны и
A1AiAn > A1AiBn, поэтому
A1An > A1Bn.
Если же не равны несколько углов, то многоугольники
A1...An
и
B1...Bn можно включить в цепочку многоугольников,
последовательные члены которой такие, как в разобранном выше случае.
б) При полном обходе многоугольника знак минус меняется на знак плюс
столько же раз, сколько происходит обратная смена знака. Поэтому число
пар соседних вершин с разными знаками четно. Остается проверить, что
число изменений знака не может быть равно двум (число изменений знака
не равно нулю, так как сумма углов обоих многоугольников одна и та же).
Предположим, что число изменений знака равно двум. Пусть P и Q, P' и Q' — середины сторон многоугольников
A1...An
и
B1...Bn, на которых происходит смена знака. К парам
многоугольников M1 и M1', M2 и M2' (рис.) можно
применить утверждение задачи а); в одном случае получим PQ > P'Q', а в
другом PQ < P'Q', чего не может быть.
Источники и прецеденты использования
