Задача 57394

Тема:    [ Геометрические неравенства (прочее) ]

Сложность: 2 Классы: 8,9

Условие

На отрезке длиной 1 дано n точек. Докажите, что сумма расстояний от некоторой точки отрезка до этих точек не меньше n/2.

Решение

Пусть A и B — концы отрезка;  X₁,..., X_n — данные точки. Так как  AX_i + BX_i = 1, то  AX_i + BX_i = n. Следовательно,  AX_i n/2 или  BX_i n/2.

Ответ

Такой точкой может быть, например, один из концов отрезка.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	9
Название	Геометрические неравенства
Тема	Геометрические неравенства
параграф
Номер	11
Название	Разные задачи
Тема	Геометрические неравенства (прочее)
задача
Номер	09.087