Задача 57534

Темы:    [ Экстремальные точки треугольника ] [ Отношение площадей треугольников с общим углом ] [ Классические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC взята точка X, M и N – её проекции на катеты AC и BC.
  а) При каком положении точки X длина отрезка MN будет наименьшей?
  б) При каком положении точки X площадь четырёхугольника CMXN будет наибольшей?

Решение

  а) Так как CMXN – прямоугольник, то  MN = CX.  Поэтому длина отрезка MN будет наименьшей, если CX – высота.

  б) Пусть  S_ABC = S.  Тогда     и     Поскольку  AX² + BX² ≥ ½ AB²  (причём равенство достигается, только когда X – середина отрезка AB), то  S_CMXN = S – S_AMX – S_BNX ≤ ^S/₂.

Ответ

а) Когда X – основание высоты.
б) Когда X – середина отрезка AB.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	11
Название	Задачи на максимум и минимум
Тема	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер	2
Название	Экстремальные точки треугольника
Тема	Экстремальные точки треугольника
задача
Номер	11.014