Задача 57538

Темы:    [ Экстремальные точки треугольника ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Неравенство Коши ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Условие

Внутри треугольника ABC взята точка O. Пусть d_a, d_b, d_c – расстояния от нее до прямых BC, CA, AB.
При каком положении точки O произведение d_ad_bd_c будет наибольшим?

Решение

  Ясно, что  2S_ABC = ad_a + bd_b + cd_c.  Поэтому произведение  (ad_a)(bd_b)(cd_c)  будет наибольшим, когда  ad_a = bd_b = cd_c  (по неравенству Коши).
  Равенство  ad_a = bd_b = cd_c  означает, что треугольники BOC, AOC и AOB равновелики, то есть что O – точка пересечения медиан треугольника _ABC (см. задачу 115612).

Ответ

Когда O – точка пересечения медиан треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	11
Название	Задачи на максимум и минимум
Тема	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер	2
Название	Экстремальные точки треугольника
Тема	Экстремальные точки треугольника
задача
Номер	11.018