Информация о задаче

Задача 57541

Темы:	[	Экстремальные точки треугольника	]
	[	Точка Торричелли	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников	]

Сложность: 6
Классы: 8,9,10
Название задачи: Точка Торричелли.

Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC. Найдите внутри его точку O, для которой сумма длин отрезков OA, OB, OC минимальна. (Обратите внимание на тот случай, когда один из углов треугольника больше 120^o.)

Решение

Предположим сначала, что все углы треугольника ABC меньше 120^o. Тогда внутри его существует точка O, из которой все стороны видны под углом 120^o. Проведем через вершины A, B и C прямые, перпендикулярные отрезкам OA, OB и OC. Эти прямые образуют правильный треугольник A₁B₁C₁ (рис.). Пусть O' — любая точка, лежащая внутри треугольника ABC и отличная от точки O. Докажем, что тогда O'A + O'B + O'C > OA + OB + OC, т. е. O — искомая точка. Пусть A', B' и C' — основания перпендикуляров, опущенных из точки O' на стороны B₁C₁, C₁A₁ и A₁B₁, a — длина стороны правильного треугольника A₁B₁C₁. Тогда O'A' + O'B' + O'C' = 2(S_O'B₁C₁ + S_O'A₁B₁ + S_O'A₁C₁)/a = 2S_A₁B₁C₁/a = OA + OB + OC. Так как наклонная длиннее перпендикуляра, то O'A + OB + O'C > O'A' + O'B' + O'C' = OA + OB + OC.

Пусть теперь один из углов треугольника ABC, например угол C, больше или равен 120^o. Проведем через точки A и B перпендикуляры B₁C₁ и C₁A₁ к отрезкам CA и CB, а через точку C — прямую A₁B₁, перпендикулярную биссектрисе угла ACB (рис.). Так как $\angle$ AC₁B = 180^o - $\angle$ ACB < 60^o, то B₁C₁ > A₁B₁. Пусть O' — любая точка, лежащая внутри треугольника A₁B₁C₁. Поскольку B₁C₁^.O'A' + C₁A₁^.O'B' + A₁B₁^.O'C' = 2S_A₁B₁C₁, то (O'A'+O'B'+O'C')^.B₁C₁ = 2S_A₁B₁C₁ + (B₁C₁ - A₁B₁)^.O'C'. Так как B₁C₁ > A₁B₁, то сумма O'A' + O'B' + O'C' минимальна для точек, лежащих на стороне B₁A₁. Ясно также, что O'A + O'B + O'C $\ge$ O'A' + O'B' + O'C'. Следовательно, искомой точкой является вершина C.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	11
Название	Задачи на максимум и минимум
Тема	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер	2
Название	Экстремальные точки треугольника
Тема	Экстремальные точки треугольника
задача
Номер	11.021