|
Название задачи: Точка Торричелли. |
 |
Условие
Дан треугольник ABC. Найдите внутри его точку O, для которой сумма
длин отрезков OA, OB, OC минимальна. (Обратите внимание на тот
случай, когда один из углов треугольника больше
120o.)
Решение
Предположим сначала, что все углы треугольника ABC меньше
120o. Тогда внутри его существует точка O, из которой
все стороны видны под углом
120o. Проведем через
вершины A, B и C прямые, перпендикулярные отрезкам OA, OB
и OC. Эти прямые образуют правильный треугольник A1B1C1
(рис.). Пусть O' — любая точка, лежащая внутри треугольника
ABC и отличная от точки O. Докажем, что тогда
O'A + O'B + O'C > OA + OB + OC, т. е. O — искомая точка. Пусть A', B' и C' — основания перпендикуляров, опущенных из точки O' на стороны
B1C1, C1A1 и A1B1, a — длина стороны правильного
треугольника A1B1C1. Тогда
O'A' + O'B' + O'C' = 2(SO'B1C1 + SO'A1B1 + SO'A1C1)/a = 2SA1B1C1/a = OA + OB + OC. Так как
наклонная длиннее перпендикуляра, то
O'A + OB + O'C > O'A' + O'B' + O'C' = OA + OB + OC.
Пусть теперь один из углов треугольника ABC, например угол C, больше или равен 120o. Проведем через точки A и B перпендикуляры B1C1 и C1A1 к отрезкам CA и CB, а через точку C — прямую A1B1, перпендикулярную биссектрисе угла ACB (рис.). Так как
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 11 |
| Название | Задачи на максимум и минимум |
| Тема | Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум. |
| параграф | |
| Номер | 2 |
| Название | Экстремальные точки треугольника |
| Тема | Экстремальные точки треугольника |
| задача | |
| Номер | 11.021 |
