|
|
 |
Условие
Найдите внутри треугольника ABC точку O, для которой сумма
квадратов расстояний от нее до сторон треугольника минимальна.
Решение
Пусть расстояния от точки O до сторон BC, CA и AB равны x,
y и z соответственно. Тогда
ax + by + cz = 2(SBOC + SCOA + SAOB) = 2SABC. Ясно также, что
x : y : z = (SBOC/a) : (SCOA/b) : (SAOB/c).
Уравнение
ax + by + cz = 2S задает плоскость в трехмерном пространстве
с координатами x, y, z, причем вектор (a, b, c)
перпендикулярен этой плоскости, так как если
ax1 + by1 + cz1 = 2S
и
ax2 + by2 + cz2 = 2S, то
a(x1 - x2) + b(y1 - y2) + c(z1 - z2) = 0.
Нам нужно найти точку
(x0, y0, z0) этой плоскости, для которой
достигается минимум выражения
x2 + y2 + z2, и проверить, что этой
точке соответствует некоторая внутренняя точка треугольника.
Так как
x2 + y2 + z2 — это квадрат расстояния от начала координат
до точки (x, y, z), то искомой точкой является основание
перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость,
т. е.
x : y : z = a : b : c. Остается проверить,
что внутри треугольника существует точка O, для которой
x : y : z = a : b : c. Это равенство
эквивалентно условию
Замечания
Решить задачу можно также с помощью метода координат, найдя минимум с помощью производной (Ситдиков Искандер, Набережный Челны)Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 11 |
| Название | Задачи на максимум и минимум |
| Тема | Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум. |
| параграф | |
| Номер | 2 |
| Название | Экстремальные точки треугольника |
| Тема | Экстремальные точки треугольника |
| задача | |
| Номер | 11.022 |
