Информация о задаче

Задача 57557

Тема:

[

Многоугольники (экстремальные свойства)

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Дан выпуклый многоугольник A₁...A_n. Докажите, что точка многоугольника, для которой максимальна сумма расстояний от нее до всех вершин, является вершиной.

Решение

Если точка X делит некоторый отрезок PQ в отношении $\lambda$ : (1 - $\lambda$ ), то $\overrightarrow{A_iX}$ = (1 - $\lambda$ ) $\overrightarrow{A_iP}$ + $\lambda$ $\overrightarrow{A_iQ}$ , а значит A_iX $\le$ (1 - $\lambda$ )A_iP + $\lambda$ A_iQ. Следовательно, f (X) = $\sum$ A_iX $\le$ (1 - $\lambda$ ) $\sum$ A_iP + $\lambda$ $\sum$ A_iQ = (1 - $\lambda$ )f (P) + $\lambda$ f (Q). Пусть, например, f (P) $\le$ f (Q); тогда f (X) $\le$ f (Q). Поэтому функция f на отрезке PQ принимает максимальное значение в одном из его концов; точнее говоря, внутри отрезка не может быть точки строгого максимума функции f. Следовательно, если X — любая точка многоугольника, то f (X) $\le$ f (Y), где Y — некоторая точка стороны многоугольника, а f (Y) $\le$ f (Z), где Z — некоторая вершина.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	11
Название	Задачи на максимум и минимум
Тема	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер	5
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники (экстремальные свойства)
задача
Номер	11.037