Условие
Дан выпуклый многоугольник
A1...
An. Докажите, что точка
многоугольника, для которой максимальна сумма расстояний от нее до
всех вершин, является вершиной.
Решение
Если точка
X делит некоторый отрезок
PQ в отношении
: (1 -
), то
= (1 -
)
+
, а значит
AiX
(1 -
)
AiP +
AiQ.
Следовательно,
f (
X) =
AiX(1 -
)
AiP +
AiQ = (1 -
)
f (
P) +
f (
Q). Пусть, например,
f (
P)
f (
Q);
тогда
f (
X)
f (
Q). Поэтому функция
f на отрезке
PQ
принимает максимальное значение в одном из его концов; точнее
говоря, внутри отрезка не может быть точки строгого максимума
функции
f. Следовательно, если
X — любая точка
многоугольника, то
f (
X)
f (
Y), где
Y — некоторая точка
стороны многоугольника, а
f (
Y)
f (
Z), где
Z —
некоторая вершина.
Источники и прецеденты использования
