Условие
а) Докажите, что среди всех n-угольников, описанных около данной
окружности, наименьшую площадь имеет правильный n-угольник.
б) Докажите, что среди всех n-угольников, описанных около данной
окружности, наименьший периметр имеет правильный n-угольник.
Решение
а) Пусть неправильный n-угольник описан около окружности S.
Опишем около этой окружности правильный n-угольник, а около
него опишем окружность S1 (рис.). Докажем, что площадь
части неправильного n-угольника, заключенной внутри S1,
больше площади правильного n-угольника. Все касательные
к S отсекают от S1 равные сегменты. Поэтому сумма площадей
сегментов, отсекаемых от S1 сторонами правильного n-угольника,
равна сумме площадей сегментов, отсекаемых от S1 сторонами
неправильного n-угольника или их продолжениями. Но для правильного
n-угольника эти сегменты не пересекаются (точнее говоря, не имеют
общих внутренних точек), а для неправильного n-угольника
некоторые из них обязательно перекрываются, поэтому площадь
объединения этих сегментов для правильного n-угольника
больше, чем для неправильного. Следовательно, площадь части
неправильного n-угольника, заключенной внутри окружности S1,
больше площади правильного n-угольника, а площадь всего
неправильного n-угольника и подавно больше площади правильного.
б) Эта задача следует из а), так как периметр многоугольника,
описанного около окружности радиуса R, равен 2S/R, где S — площадь многоугольника.
Источники и прецеденты использования
