Задача 57566

Тема:    [ Экстремальные свойства правильных многоугольников ]

Сложность: 6 Классы: 8,9

Условие

а) Докажите, что среди всех n-угольников, описанных около данной окружности, наименьшую площадь имеет правильный n-угольник.
б) Докажите, что среди всех n-угольников, описанных около данной окружности, наименьший периметр имеет правильный n-угольник.

Решение

а) Пусть неправильный n-угольник описан около окружности S. Опишем около этой окружности правильный n-угольник, а около него опишем окружность S₁ (рис.). Докажем, что площадь части неправильного n-угольника, заключенной внутри S₁, больше площади правильного n-угольника. Все касательные к S отсекают от S₁ равные сегменты. Поэтому сумма площадей сегментов, отсекаемых от S₁ сторонами правильного n-угольника, равна сумме площадей сегментов, отсекаемых от S₁ сторонами неправильного n-угольника или их продолжениями. Но для правильного n-угольника эти сегменты не пересекаются (точнее говоря, не имеют общих внутренних точек), а для неправильного n-угольника некоторые из них обязательно перекрываются, поэтому площадь объединения этих сегментов для правильного n-угольника больше, чем для неправильного. Следовательно, площадь части неправильного n-угольника, заключенной внутри окружности S₁, больше площади правильного n-угольника, а площадь всего неправильного n-угольника и подавно больше площади правильного.
б) Эта задача следует из а), так как периметр многоугольника, описанного около окружности радиуса R, равен 2S/R, где S — площадь многоугольника.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	11
Название	Задачи на максимум и минимум
Тема	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер	7
Название	Экстремальные свойства правильных многоугольников
Тема	Экстремальные свойства правильных многоугольников
задача
Номер	11.046