Информация о задаче

Задача 57567

Тема:

[

Экстремальные свойства правильных многоугольников

]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Треугольники ABC₁ и ABC₂ имеют общее основание AB и $\angle$ AC₁B = $\angle$ AC₂B. Докажите, что если | AC₁ - C₁B| < | AC₂ - C₂B|, то:
а) площадь треугольника ABC₁ больше площади треугольника ABC₂;
б) периметр треугольника ABC₁ больше периметра треугольника ABC₂.

Решение

Стороны треугольника ABC пропорциональны sin $\alpha$ , sin $\beta$ и sin $\gamma$ . Если угол $\gamma$ фиксирован, то величина | sin $\alpha$ - sin $\beta$ | = 2| sin(( $\alpha$ - $\beta$ )/2)sin( $\gamma$ /2)| тем больше, чем больше величина $\varphi$ = | $\alpha$ - $\beta$ |. Остается заметить, что величины S = 2R²sin $\alpha$ sin $\beta$ sin $\gamma$ = R²sin $\gamma$ (cos( $\alpha$ - $\beta$ ) + cos $\gamma$ ) = R²sin $\gamma$ (cos $\varphi$ + cos $\gamma$ ) и sin $\alpha$ + sin $\beta$ = 2 cos( $\gamma$ /2)cos( $\varphi$ /2) монотонно убывают при возрастании $\varphi$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	11
Название	Задачи на максимум и минимум
Тема	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер	7
Название	Экстремальные свойства правильных многоугольников
Тема	Экстремальные свойства правильных многоугольников
задача
Номер	11.047