Задача 57568

Тема:    [ Экстремальные свойства правильных многоугольников ]

Сложность: 6+ Классы: 8,9

Условие

а) Докажите, что среди всех n-угольников, вписанных в данную окружность, наибольшую площадь имеет правильный n-угольник.
б) Докажите, что среди всех n-угольников, вписанных в данную окружность, наибольший периметр имеет правильный n-угольник.

Решение

а) Обозначим длину стороны правильного n-угольника, вписанного в данную окружность, через a_n. Рассмотрим произвольный неправильный n-угольник, вписанный в эту окружность. У него обязательно найдется сторона длиной меньше a_n. А вот стороны длиной больше a_n у него может и не быть, но тогда этот многоугольник можно заключить в сегмент, отсекаемый стороной правильного n-угольника. Так как при симметрии относительно стороны правильного n-угольника сегмент, отсекаемый этой стороной, попадает внутрь n-угольника, площадь n-угольника больше площади сегмента. Поэтому можно считать, что у рассматриваемого n-угольника есть сторона длиной меньше a_n и сторона длиной больше a_n.
Мы можем поменять местами соседние стороны n-угольника, т. е. вместо многоугольника A₁A₂A₃...A_n взять многоугольник A₁A₂'A₃...A_n, где точка A₂' симметрична точке A₂ относительно серединного перпендикуляра к отрезку A₁A₃ (рис.). При этом оба многоугольника вписаны в одну и ту же окружность и их площади равны. Ясно, что с помощью этой операции можно сделать соседними любые две стороны многоугольника. Поэтому будем считать, что у рассматриваемого n-угольника A₁A₂ > a_n и A₂A₃ < a_n. Пусть A₂' — точка, симметричная точке A₂ относительно серединного перпендикуляра к отрезку A₁A₃. Если точка A₂'' лежит на дуге A₂A₂', то разность углов при основании A₁A₃ у треугольника A₁A₂''A₃ меньше, чем у треугольника A₁A₂A₃, так как величины углов A₁A₃A₂'' и  A₃A₁A₂'' заключены между величинами углов A₁A₃A₂ и A₃A₁A₂. Поскольку A₁A₂' < a_n и A₁A₂ > a_n, то на дуге A₂A₂' существует точка A₂'', для которой A₁A₂'' = a_n. Площадь треугольника A₁A₂''A₃ больше площади треугольника A₁A₂A₃ (см. задачу 11.47, а)). Площадь многоугольника A₁A₂''A₃...A_n больше площади исходного многоугольника, и у него по крайней мере на 1 больше число сторон, равных a_n. За конечное число шагов мы придем к правильному n-угольнику, причем каждый раз площадь увеличивается. Следовательно, площадь любого неправильного n-угольника, вписанного в окружность, меньше площади правильного n-угольника, вписанного в ту же окружность.
б) Доказательство аналогично предыдущему, нужно только воспользоваться результатом задачи 11.47, б), а не задачи 11.47, а).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	11
Название	Задачи на максимум и минимум
Тема	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер	7
Название	Экстремальные свойства правильных многоугольников
Тема	Экстремальные свойства правильных многоугольников
задача
Номер	11.048