Условие
а) Докажите, что среди всех n-угольников, вписанных в данную
окружность, наибольшую площадь имеет правильный n-угольник.
б) Докажите, что среди всех n-угольников, вписанных в данную
окружность, наибольший периметр имеет правильный n-угольник.
Решение
а) Обозначим длину стороны правильного n-угольника, вписанного в
данную окружность, через an. Рассмотрим произвольный неправильный
n-угольник, вписанный в эту окружность. У него обязательно
найдется сторона длиной меньше an. А вот стороны длиной больше an
у него может и не быть, но тогда этот многоугольник можно заключить
в сегмент, отсекаемый стороной правильного n-угольника. Так
как при симметрии относительно стороны правильного n-угольника
сегмент, отсекаемый этой стороной, попадает внутрь n-угольника,
площадь n-угольника больше площади сегмента. Поэтому можно считать,
что у рассматриваемого n-угольника есть сторона длиной
меньше an и сторона длиной больше an.
Мы можем поменять местами соседние стороны n-угольника, т. е.
вместо многоугольника
A1A2A3...An взять многоугольник
A1A2'A3...An, где точка A2' симметрична точке A2
относительно серединного перпендикуляра к отрезку A1A3
(рис.). При этом оба многоугольника вписаны в одну и ту же
окружность и их площади равны. Ясно, что с помощью этой операции
можно сделать соседними
любые две стороны многоугольника. Поэтому
будем считать, что у рассматриваемого n-угольника
A1A2 > an
и
A2A3 < an. Пусть A2' — точка, симметричная точке A2
относительно серединного перпендикуляра к отрезку A1A3. Если
точка A2'' лежит на дуге A2A2', то разность углов при
основании A1A3 у треугольника
A1A2''A3 меньше, чем у
треугольника A1A2A3, так как величины углов
A1A3A2''
и
A3A1A2'' заключены между величинами углов A1A3A2
и A3A1A2. Поскольку
A1A2' < an и
A1A2 > an, то на дуге
A2A2' существует точка A2'', для которой
A1A2'' = an.
Площадь треугольника
A1A2''A3 больше площади треугольника
A1A2A3 (см. задачу 11.47, а)). Площадь многоугольника
A1A2''A3...An больше площади исходного многоугольника, и
у него по крайней мере на 1 больше число сторон, равных an.
За конечное число шагов мы придем к правильному n-угольнику,
причем каждый раз площадь увеличивается. Следовательно, площадь
любого неправильного n-угольника, вписанного в окружность,
меньше площади правильного n-угольника, вписанного в ту же
окружность.
б) Доказательство аналогично предыдущему, нужно только воспользоваться
результатом задачи 11.47, б), а не задачи 11.47, а).
Источники и прецеденты использования
