Задача 57681

Темы:    [ Векторы сторон многоугольников ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

а) Докажите, что из медиан треугольника можно составить треугольник.
б) Из медиан треугольника ABC составлен треугольник A₁B₁C₁, а из медиан треугольника A₁B₁C₁ составлен треугольник A₂B₂C₂. Докажите, что треугольники ABC и A₂B₂C₂ подобны, причем коэффициент подобия равен 3/4.

Решение

а) Пусть a = , b = и  c = ; AA', BB' и CC' — медианы треугольника ABC. Тогда = (c - b)/2, = (a - c)/2 и  = (b - a)/2. Поэтому + + = .
б) Пусть a₁ = , b₁ = и  c₁ = . Тогда (c₁ - b₁)/2 = (b - a - a + c)/4 = - 3a/4 — вектор стороны треугольника A₂B₂C₂.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	1
Название	Векторы сторон многоугольников
Тема	Векторы сторон многоугольников
задача
Номер	13.001