Задача 57687

Темы:    [ Векторы сторон многоугольников ] [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

Условие

Дано n попарно не сонаправленных векторов (n3), сумма которых равна нулю. Докажите, что существует выпуклый n-угольник, набор векторов сторон которого совпадает с данным набором векторов.

Решение

Отложим данные векторы от одной точки и, идя по часовой стрелке, занумеруем их по порядку: a₁,...,a_n. Рассмотрим замкнутую ломаную A₁...A_n, для которой = a_i. Докажем, что A₁...A_n — выпуклый многоугольник. Введем систему координат, направив ось Ox по вектору  a₁. Пусть векторы a₂,...,a_k лежат по одну сторону от оси Ox, а векторы a_{k + 1},...,a_n — по другую (если есть вектор, противоположно направленный с  a₁, то его можно отнести в любую из этих двух групп). Проекции векторов первой группы на ось Oy имеют один знак, а проекции векторов второй группы — другой. Поэтому вторые координаты как точек A₂, A₃,..., A_{k + 1}, так и точек A_{k + 1},..., A_n, A₁ изменяются монотонно: в первом случае от нуля до некоторой величины d, а во втором — от d до нуля. Так как интервалов монотонности только два, все вершины многоугольника лежат по одну сторону от прямой A₁A₂. Для остальных прямых, проходящих через стороны многоугольника, доказательство проводится аналогично.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	1
Название	Векторы сторон многоугольников
Тема	Векторы сторон многоугольников
задача
Номер	13.007