Условие
Даны четыре попарно непараллельных вектора
a,
b,
c и
d, сумма которых равна нулю. Докажите, что
|a| + |b| + |c| + |d| > |a + b| + |a + c| + |a + d|.
Решение
Согласно задаче
13.8, б) из данных векторов можно составить
самопересекающуюся четырехзвенную ломаную; ее можно представить
как две диагонали и две противоположные стороны выпуклого
четырехугольника. Возможны два случая: вектор
a может
быть как стороной, так и диагональю этого четырехугольника.
Но в обоих случаях сумма в левой части неравенства представляет
собой сумму длин двух противоположных сторон и двух диагоналей
четырехугольника, а в сумму в правой части входит длина суммы
векторов тех же самых противоположных сторон и длины двух
других противоположных сторон. Остается заметить, что сумма
длин двух векторов не меньше длины их суммы, а сумма длин
диагоналей выпуклого четырехугольника больше суммы длин двух
противоположных сторон (см. задачу
9.14).
Источники и прецеденты использования
