Условие
В выпуклом пятиугольнике
ABCDE сторона
BC параллельна
диагонали
AD,
CD ||
BE,
DE ||
AC и
AE ||
BD.
Докажите, что
AB ||
CE.
Решение
Пусть диагональ
BE пересекает диагонали
AD и
AC
в точках
F и
G. Стороны треугольников
AFE и
BCD параллельны,
поэтому они подобны и
AF :
FE =
BC :
CD. Следовательно,
AD :
BE = (
AF +
BC) : (
EF +
CD) =
BC :
CD. Аналогично
AE :
BD =
DE :
AC. Из подобия треугольников
BED
и
EGA получаем
AE :
DB =
EG :
BE =
CD :
BE.
Итак,
=
=
=
=
.
Ясно, что
+
+
+
+
=
,
+
+
+
+
=
и
=
,
=
,
=
,
=
. Следовательно,
=
(
+
+
+
) +
= -
+
, т. е.
=
.
Поэтому
AB|
EC.
Источники и прецеденты использования
