Задача 57690
|
|
 |
Условие
В выпуклом пятиугольнике ABCDE сторона BC параллельна
диагонали AD,
CD || BE,
DE || AC и
AE || BD.
Докажите, что
AB || CE.
Решение
Пусть диагональ BE пересекает диагонали AD и AC
в точках F и G. Стороны треугольников AFE и BCD параллельны,
поэтому они подобны и
AF : FE = BC : CD. Следовательно,
AD : BE = (AF + BC) : (EF + CD) = BC : CD. Аналогично
AE : BD = DE : AC. Из подобия треугольников BED
и EGA получаем
AE : DB = EG : BE = CD : BE.
Итак,
=
=
=
=
.
Ясно, что
+
+
+
+
=
,
+
+
+
+
=
и
=
,
=
,
=
,
=
. Следовательно,
=
(
+
+
+
) +
= -
+
, т. е.
=
.
Поэтому AB| EC.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 13 |
| Название | Векторы |
| Тема | Векторы |
| параграф | |
| Номер | 1 |
| Название | Векторы сторон многоугольников |
| Тема | Векторы сторон многоугольников |
| задача | |
| Номер | 13.010 |
