Задача 57692
|
|
 |
Условие
а) Пусть A, B, C и D — произвольные точки плоскости.
Докажите, что
(,
) + (
,
) + (
,
) = 0.
б) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Решение
а) Выразим все входящие в указанную формулу векторы
через
,
и
, т. е. запишем
=
+
+
,
= -
-
и
=
+
. После сокращения
получим требуемое.
б) Пусть D — точка пересечения высот, проведенных из вершин A
и C треугольника ABC. Тогда в доказанной в задаче а) формуле
первые два слагаемых нулевые, поэтому последнее слагаемое тоже
нулевое, т. е.
BD AC.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 13 |
| Название | Векторы |
| Тема | Векторы |
| параграф | |
| Номер | 2 |
| Название | Скалярное произведение. Соотношения |
| Тема | Скалярное произведение. Соотношения |
| задача | |
| Номер | 13.012 |
