Информация о задаче

Задача 57695

Тема:

[

Скалярное произведение. Соотношения

]

Сложность: 4
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Пусть A₁...A_n — правильный n-угольник, X — произвольная точка. Рассмотрим проекции X₁, ..., X_n точки X на прямые A₁A₂, ..., A_nA₁. Пусть x_i — длина отрезка A_iX_i с учётом знака (знак плюс берётся в случае, когда лучи A_iX_i и A_iA_{i + 1} сонаправлены). Докажите, что сумма x₁ + ... + x_n равна половине периметра многоугольника A₁...A_n.

Решение

Достаточно рассмотреть случай, когда длины сторон многоугольника A₁...A_n равны 1. В этом случае x_i = ( $\overrightarrow{A_iX}$ , $\overrightarrow{A_iA_{i+1}}$ ). Пусть O — центр правильного многоугольника A₁...A_n. Тогда

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}$ x_i	= $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{A_iO}$ , $\displaystyle \overrightarrow{A_iA_{i+1}}$ ) + $\displaystyle \left(\vphantom{\overrightarrow{OX},\sum_{i=1}^n\overrightarrow{A_iA_{i+1}}}\right.$ $\displaystyle \overrightarrow{OX}$ , $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}$ $\displaystyle \overrightarrow{A_iA_{i+1}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\overrightarrow{OX},\sum_{i=1}^n\overrightarrow{A_iA_{i+1}}}\right)$ =
	= $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}$ ( $\displaystyle \overrightarrow{A_iO}$ , $\displaystyle \overrightarrow{A_iA_{i+1}}$ ),

поскольку $\sum_{i=1}^{n}$ $\overrightarrow{A_iA_{i+1}}$ = $\overrightarrow{0}$ для любого многоугольника. Остаётся заметить, что ( $\overrightarrow{A_iO}$ , $\overrightarrow{A_iA_{i+1}}$ ) = 1/2 для всех i.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	2
Название	Скалярное произведение. Соотношения
Тема	Скалярное произведение. Соотношения
задача
Номер	13.013B1