Условие
Пусть
a1,...,
an — векторы сторон
n-угольника,
![$ \varphi_{ij}^{}$](show_document.php?id=599751)
=
![$ \angle$](show_document.php?id=599750)
(
ai,
aj).
Докажите, что
a12 =
a22 +...+
an2 + 2
aiajcos
![$ \varphi_{ij}^{}$](show_document.php?id=599751)
, где
ai = |
ai|.
Решение
Пусть
![$ \alpha_{i}^{}$](show_document.php?id=599746)
=
![$ \angle$](show_document.php?id=599750)
(
ai,
a1). Рассматривая проекции на
прямую, параллельную
a1, и прямую, перпендикулярную
a1,
получаем
a1 =
aicos
![$ \alpha_{i}^{}$](show_document.php?id=599746)
и
0 =
aisin
![$ \alpha_{i}^{}$](show_document.php?id=599746)
соответственно. Возводя эти равенства в квадрат и складывая их,
получаем
a12 =
ai2(cos
2![$ \alpha_{i}^{}$](show_document.php?id=599746)
+ sin
2![$ \alpha_{i}^{}$](show_document.php?id=599746)
) + 2
aiaj(cos
![$ \alpha_{i}^{}$](show_document.php?id=599746)
cos
![$ \alpha_{j}^{}$](show_document.php?id=599747)
+ sin
![$ \alpha_{i}^{}$](show_document.php?id=599746)
sin
![$ \alpha_{j}^{}$](show_document.php?id=599747)
) =
a22 +...+
an2 + 2
aiajcos(
![$ \alpha_{i}^{}$](show_document.php?id=599746)
-
![$ \alpha_{j}^{}$](show_document.php?id=599747)
).
Остается заметить, что
![$ \alpha_{i}^{}$](show_document.php?id=599746)
-
![$ \alpha_{j}^{}$](show_document.php?id=599747)
=
![$ \angle$](show_document.php?id=599750)
(
ai,
a1) -
![$ \angle$](show_document.php?id=599750)
(
aj,
a1) =
![$ \angle$](show_document.php?id=599750)
(
ai,
aj) =
![$ \varphi_{ij}^{}$](show_document.php?id=599751)
.
Источники и прецеденты использования