Информация о задаче

Задача 57696

Тема:

[

Скалярное произведение. Соотношения

]

Сложность: 4
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Пусть a₁,...,a_n — векторы сторон n-угольника, $\varphi_{ij}^{}$ = $\angle$ (a_i,a_j). Докажите, что a₁² = a₂² +...+ a_n² + 2 $\sum\limits_{i>j>1}^{}$ a_ia_jcos $\varphi_{ij}^{}$ , где a_i = |a_i|.

Решение

Пусть $\alpha_{i}^{}$ = $\angle$ (a_i,a₁). Рассматривая проекции на прямую, параллельную a₁, и прямую, перпендикулярную a₁, получаем a₁ = $\sum\limits_{i>1}^{}$ a_icos $\alpha_{i}^{}$ и 0 = $\sum\limits_{i>1}^{}$ a_isin $\alpha_{i}^{}$ соответственно. Возводя эти равенства в квадрат и складывая их, получаем a₁² = $\sum\limits_{i>1}^{}$ a_i²(cos² $\alpha_{i}^{}$ + sin² $\alpha_{i}^{}$ ) + 2 $\sum\limits_{i>j>1}^{}$ a_ia_j(cos $\alpha_{i}^{}$ cos $\alpha_{j}^{}$ + sin $\alpha_{i}^{}$ sin $\alpha_{j}^{}$ ) = a₂² +...+ a_n² + 2 $\sum\limits_{i>j>1}^{}$ a_ia_jcos( $\alpha_{i}^{}$ - $\alpha_{j}^{}$ ). Остается заметить, что $\alpha_{i}^{}$ - $\alpha_{j}^{}$ = $\angle$ (a_i,a₁) - $\angle$ (a_j,a₁) = $\angle$ (a_i,a_j) = $\varphi_{ij}^{}$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	2
Название	Скалярное произведение. Соотношения
Тема	Скалярное произведение. Соотношения
задача
Номер	13.014