ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57698
Тема:    [ Скалярное произведение. Соотношения ]
Сложность: 4
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точки A, B, C и D таковы, что для любой точки M числа ($ \overrightarrow{MA}$,$ \overrightarrow{MB}$) и  ($ \overrightarrow{MC}$,$ \overrightarrow{MD}$) различны. Докажите, что $ \overrightarrow{AC}$ = $ \overrightarrow{DB}$.

Решение

Фиксируем произвольную точку O. Пусть m = $ \overrightarrow{OM}$, a = $ \overrightarrow{OA}$,...,d = $ \overrightarrow{OD}$. Тогда ($ \overrightarrow{MA}$,$ \overrightarrow{MB}$) - ($ \overrightarrow{MC}$,$ \overrightarrow{MD}$) = (a - m,b - m) - (c - m,d - m) = (c+d-a-b,m) + (a,b) - (c,d). Если v = c + d - a - b$ \ne$ 0, то когда точка M пробегает всю плоскость, величина (v,m) принимает все действительные значения, в частности, она принимает значение (c,d) - (a,b). Следовательно, v = 0, т. е. $ \overrightarrow{OC}$ + $ \overrightarrow{OD}$ = $ \overrightarrow{OA}$ + $ \overrightarrow{OB}$, а значит, $ \overrightarrow{AC}$ = $ \overrightarrow{DB}$.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 13
Название Векторы
Тема Векторы
параграф
Номер 2
Название Скалярное произведение. Соотношения
Тема Скалярное произведение. Соотношения
задача
Номер 13.016

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .