Задача 57698

Тема:    [ Скалярное произведение. Соотношения ]

Сложность: 4 Классы: 9

Условие

Точки A, B, C и D таковы, что для любой точки M числа (,) и  (,) различны. Докажите, что = .

Решение

Фиксируем произвольную точку O. Пусть m = , a = ,...,d = . Тогда (,) - (,) = (a - m,b - m) - (c - m,d - m) = (c+d-a-b,m) + (a,b) - (c,d). Если v = c + d - a - b 0, то когда точка M пробегает всю плоскость, величина (v,m) принимает все действительные значения, в частности, она принимает значение (c,d) - (a,b). Следовательно, v = 0, т. е. + = + , а значит, = .

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	2
Название	Скалярное произведение. Соотношения
Тема	Скалярное произведение. Соотношения
задача
Номер	13.016