ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57700
Тема:    [ Скалярное произведение. Соотношения ]
Сложность: 5+
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырехугольнике сумма расстояний от вершины до сторон одна и та же для всех вершин. Докажите, что этот четырехугольник является параллелограммом.

Решение

Пусть l — произвольная прямая, n — единичный вектор, перпендикулярный прямой l. Если точки A и B лежат в той же полуплоскости, заданной прямой l, что и вектор  n, то $ \rho$(B, l )- $ \rho$(A, l )= ($ \overrightarrow{AB}$,n), где $ \rho$(X, l ) — расстояние от точки X до прямой l.
Пусть  n1, n2, n3 и  n4 — единичные векторы, перпендикулярные последовательным сторонам четырехугольника ABCD и направленные внутрь. Обозначим сумму расстояний от точки X до сторон четырехугольника ABCD через $ \sum$(X). Тогда 0 = $ \sum$(B) - $ \sum$(A) = ($ \overrightarrow{AB}$,n1 + n2 + n3 + n4). Аналогично ($ \overrightarrow{BC}$,n1 + n2 + n3 + n4) = 0. Так как точки A, B и C не лежат на одной прямой, то n1 + n2 + n3 + n4 = 0. Остается воспользоваться результатом задачи 13.5.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 13
Название Векторы
Тема Векторы
параграф
Номер 2
Название Скалярное произведение. Соотношения
Тема Скалярное произведение. Соотношения
задача
Номер 13.018

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .