Информация о задаче

Задача 57711

Темы:	[	Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число	]
Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Внутри треугольника ABC взята точка O. Докажите, что

S_BOC^. $\displaystyle \overrightarrow{OA}$ + S_AOC^. $\displaystyle \overrightarrow{OB}$ + S_AOB^. $\displaystyle \overrightarrow{OC}$ = $\displaystyle \overrightarrow{0}$ .

Решение

Пусть e₁, e₂ и e₃ — единичные векторы, сонаправленные с векторами $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ и $\overrightarrow{OC}$ ; $\alpha$ = $\angle$ BOC, $\beta$ = $\angle$ COA и $\gamma$ = $\angle$ AOB. Нужно доказать, что e₁sin $\alpha$ + e₂sin $\beta$ + e₃sin $\gamma$ = $\overrightarrow{0}$ . Рассмотрим треугольник A₁B₁C₁, стороны которого параллельны прямым OC, OA и OB. Тогда $\overrightarrow{0}$ = $\overrightarrow{A_1B_1}$ + $\overrightarrow{B_1C_1}$ + $\overrightarrow{C_1A_1}$ = ±2R(e₁sin $\alpha$ + e₂sin $\beta$ + e₃sin $\gamma$ ), где R — радиус описанной окружности треугольника A₁B₁C₁.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	4
Название	Суммы векторов
Тема	Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число
задача
Номер	13.029