Задача 57712

Тема:    [ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ]

Сложность: 3 Классы: 9

Условие

Точки A и B движутся по двум фиксированным лучам с общим началом O так, что величина + остается постоянной. Докажите, что прямая AB при этом проходит через фиксированную точку.

Решение

Пусть  a и  b — единичные векторы, сонаправленные с лучами OA и OB, = OA и  = OB. Прямая AB состоит из всех таких точек X, что = t + (1 - t) = ta + (1 - t)b. Требуется найти такие числа x₀ и y₀, что x₀/ = t = 1 - (y₀/) при всех рассматриваемых значениях  и . Остается положить x₀ = p/c и y₀ = q/c. В итоге получаем, что если p/OA + q/OB = c, то прямая AB проходит через такую точку X, что = (pa + qb)/c.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	4
Название	Суммы векторов
Тема	Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число
задача
Номер	13.030