Информация о задаче

Задача 57712

Тема:

[

Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число

]

Сложность: 3
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Точки A и B движутся по двум фиксированным лучам с общим началом O так, что величина ${\frac{p}{OA}}$ + ${\frac{q}{OB}}$ остается постоянной. Докажите, что прямая AB при этом проходит через фиксированную точку.

Решение

Пусть a и b — единичные векторы, сонаправленные с лучами OA и OB, $\lambda$ = OA и $\mu$ = OB. Прямая AB состоит из всех таких точек X, что $\overrightarrow{OX}$ = t $\overrightarrow{OA}$ + (1 - t) $\overrightarrow{OB}$ = t $\lambda$ a + (1 - t) $\mu$ b. Требуется найти такие числа x₀ и y₀, что x₀/ $\lambda$ = t = 1 - (y₀/ $\mu$ ) при всех рассматриваемых значениях $\lambda$ и $\mu$ . Остается положить x₀ = p/c и y₀ = q/c. В итоге получаем, что если p/OA + q/OB = c, то прямая AB проходит через такую точку X, что $\overrightarrow{OX}$ = (pa + qb)/c.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	4
Название	Суммы векторов
Тема	Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число
задача
Номер	13.030