Информация о задаче

Задача 57713

Тема:

[

Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число

]

Сложность: 3
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Через точку M пересечения медиан треугольника ABC проведена прямая, пересекающая прямые BC, CA и AB в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что (1/ $\overline{MA_1}$ ) + (1/ $\overline{MB_1}$ ) + (1/ $\overline{MC_1}$ ) = 0 (отрезки MA₁, MB₁ и MC₁ считаются ориентированными).

Решение

Пусть a = $\overrightarrow{MA}$ , b = $\overrightarrow{MB}$ и c = $\overrightarrow{MC}$ . Тогда e = $\overrightarrow{MC_1}$ = pa + (1 - p)b и $\overrightarrow{MA_1}$ = qc + (1 - q)b = - qa + (1 - 2q)b. С другой стороны, $\overrightarrow{MA_1}$ = $\alpha$ e. Аналогично $\beta$ e = $\overrightarrow{MB_1}$ = - rb + (1 - 2r)a. Требуется доказать, что 1 + (1/ $\alpha$ ) + (1/ $\beta$ ) = 0. Так как $\alpha$ pa + $\alpha$ (1 - p)b = $\alpha$ e = - qa + (1 - 2q)b, то $\alpha$ p = - q и $\alpha$ (1 - p) = 1 - 2q, а значит, 1/ $\alpha$ = 1 - 3p. Аналогично $\beta$ p = 1 - 2r и $\beta$ (1 - p) = - r, а значит, 1/ $\beta$ = 3p - 2.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	4
Название	Суммы векторов
Тема	Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число
задача
Номер	13.031