ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57714
Тема:    [ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ]
Сложность: 3
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1. Отрезки BB1 и CC1, CC1 и AA1, AA1 и BB1 пересекаются в точках A2, B2 и C2 соответственно. Докажите, что если $ \overrightarrow{AA_2}$ + $ \overrightarrow{BB_2}$ + $ \overrightarrow{CC_2}$ = $ \overrightarrow{0}$, то AB1 : B1C = CA1 : A1B = BC1 : C1A.

Решение

Сложив равенства $ \overrightarrow{AA_2}$ + $ \overrightarrow{BB_2}$ + $ \overrightarrow{CC_2}$ = $ \overrightarrow{0}$ и  $ \overrightarrow{A_2B_2}$ + $ \overrightarrow{B_2C_2}$ + $ \overrightarrow{C_2A_2}$ = $ \overrightarrow{0}$, получим $ \overrightarrow{AB_2}$ + $ \overrightarrow{BC_2}$ + $ \overrightarrow{CA_2}$ = $ \overrightarrow{0}$. Следовательно, $ \overrightarrow{AB_2}$ = $ \lambda$$ \overrightarrow{C_2B_2}$, $ \overrightarrow{BC_2}$ = $ \lambda$$ \overrightarrow{A_2C_2}$ и  $ \overrightarrow{CA_2}$ = $ \lambda$$ \overrightarrow{B_2A_2}$. Пусть E — такая точка прямой BC, что A2E| AA1. Тогда $ \overrightarrow{BA_1}$ = $ \lambda$$ \overrightarrow{EA_1}$ и  $ \overrightarrow{EC}$ = $ \lambda$$ \overrightarrow{EA_1}$, поэтому $ \overrightarrow{A_1C}$ = $ \overrightarrow{EC}$ - $ \overrightarrow{EA_1}$ = ($ \lambda$ - 1)$ \overrightarrow{EA_1}$. Следовательно, $ \overline{A_1C}$/$ \overline{BA_1}$ = ($ \lambda$ - 1)/$ \lambda$. Аналогично $ \overline{AB_1}$/$ \overline{B_1C}$ = $ \overline{BC_1}$/$ \overline{C_1A}$ = ($ \lambda$ - 1)/$ \lambda$.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 13
Название Векторы
Тема Векторы
параграф
Номер 4
Название Суммы векторов
Тема Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число
задача
Номер 13.032

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .