Информация о задаче

Задача 57714

Тема:

[

Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число

]

Сложность: 3
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁. Отрезки BB₁ и CC₁, CC₁ и AA₁, AA₁ и BB₁ пересекаются в точках A₂, B₂ и C₂ соответственно. Докажите, что если $\overrightarrow{AA_2}$ + $\overrightarrow{BB_2}$ + $\overrightarrow{CC_2}$ = $\overrightarrow{0}$ , то AB₁ : B₁C = CA₁ : A₁B = BC₁ : C₁A.

Решение

Сложив равенства $\overrightarrow{AA_2}$ + $\overrightarrow{BB_2}$ + $\overrightarrow{CC_2}$ = $\overrightarrow{0}$ и $\overrightarrow{A_2B_2}$ + $\overrightarrow{B_2C_2}$ + $\overrightarrow{C_2A_2}$ = $\overrightarrow{0}$ , получим $\overrightarrow{AB_2}$ + $\overrightarrow{BC_2}$ + $\overrightarrow{CA_2}$ = $\overrightarrow{0}$ . Следовательно, $\overrightarrow{AB_2}$ = $\lambda$ $\overrightarrow{C_2B_2}$ , $\overrightarrow{BC_2}$ = $\lambda$ $\overrightarrow{A_2C_2}$ и $\overrightarrow{CA_2}$ = $\lambda$ $\overrightarrow{B_2A_2}$ . Пусть E — такая точка прямой BC, что A₂E| AA₁. Тогда $\overrightarrow{BA_1}$ = $\lambda$ $\overrightarrow{EA_1}$ и $\overrightarrow{EC}$ = $\lambda$ $\overrightarrow{EA_1}$ , поэтому $\overrightarrow{A_1C}$ = $\overrightarrow{EC}$ - $\overrightarrow{EA_1}$ = ( $\lambda$ - 1) $\overrightarrow{EA_1}$ . Следовательно, $\overline{A_1C}$ / $\overline{BA_1}$ = ( $\lambda$ - 1)/ $\lambda$ . Аналогично $\overline{AB_1}$ / $\overline{B_1C}$ = $\overline{BC_1}$ / $\overline{C_1A}$ = ( $\lambda$ - 1)/ $\lambda$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	4
Название	Суммы векторов
Тема	Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число
задача
Номер	13.032