Информация о задаче

Задача 57722

Тема:

[

Метод усреднения

]

Сложность: 5
Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Даны два набора векторов a₁,...,a_n и b₁,...,b_m, причем сумма длин проекций векторов первого набора на любую прямую не больше суммы длин проекций векторов второго набора на ту же прямую. Докажите, что сумма длин векторов первого набора не больше суммы длин векторов второго набора.

Решение

Введем систему координат Oxy. Пусть l — прямая, проходящая через точку O и образующая угол $\varphi$ (0 < $\varphi$ < $\pi$ ) с осью Ox, т. е. если точка A лежит на l и вторая координата точки A положительна, то $\angle$ AOX = $\varphi$ ; l₀ = l = Ox.
Если вектор a образует угол $\alpha$ с осью Ox (угол отсчитывается против часовой стрелки от оси Ox к вектору a), то длина проекции вектора a на прямую l равна |a|^.| cos( $\varphi$ - $\alpha$ )|. Интеграл $\int_{0}^{\pi}$ |a|^.| cos( $\varphi$ - $\alpha$ )| d $\varphi$ = 2|a| не зависит от $\alpha$ .
Пусть векторы a₁,...,a_n,b₁,...,b_m образуют с осью Ox углы $\alpha_{1}^{}$ ,..., $\alpha_{n}^{}$ , $\beta_{1}^{}$ ,..., $\beta_{m}^{}$ . Тогда по условию |a₁|^.| cos( $\varphi$ - $\alpha_{1}^{}$ )| +...+ |a_n|^.| cos( $\varphi$ - $\alpha_{n}^{}$ )| $\le$ |b₁|^.| cos( $\varphi$ - $\beta_{1}^{}$ )| +...+ |b_m|^.| cos( $\varphi$ - $\beta_{m}^{}$ )| для любого угла $\varphi$ . Интегрируя эти неравенства по $\varphi$ от 0 до $\pi$ , получаем |a₁| +...+ |a_n| $\le$ |b₁| +...+ |b_m|.
Замечание. Величину ${\frac{1}{b-a}}$ $\int\limits_{a}^{b}$ f (x) dx называют средним значением функции f на отрезке [a, b]. Равенство

$\displaystyle \int\limits_{0}^{\pi}$ |a|^.| cos( $\displaystyle \varphi$ - $\displaystyle \alpha$ )| d $\displaystyle \varphi$ = 2|a|

означает, что среднее значение длины проекции вектора a равно 2|a|/ $\pi$ , точнее говоря, среднее значение функции f ( $\varphi$ ), равной длине проекции вектора a на прямую l, на отрезке [0, $\pi$ ] равно 2|a|/ $\pi$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	6
Название	Метод усреднения
Тема	Метод усреднения
задача
Номер	13.039