Информация о задаче

Задача 57733

Тема:

[

Псевдоскалярное произведение

]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Три бегуна A, B и C бегут по параллельным дорожкам с постоянными скоростями. В начальный момент площадь треугольника ABC равна 2, через 5 с равна 3. Чему может быть она равна еще через 5 с?

Решение

Пусть в начальный момент, т. е. при t = 0, $\overrightarrow{AB}$ = v и $\overrightarrow{AC}$ = w. Тогда в момент t получим $\overrightarrow{AB}$ = v + t(b - a) и $\overrightarrow{AC}$ = w + t(c - a), где a, b и c — векторы скоростей бегунов A, B и C. Так как векторы a, b и c параллельны, то (b - a) $\vee$ (c-a) = 0, а значит, | S(A, B, C)| = | $\overrightarrow{AB}$ $\vee$ $\overrightarrow{AC}$ |/2 = | x + yt|, где x и y — некоторые постоянные числа. Решая систему | x| = 2, | x + 5y| = 3, получаем два решения, дающие для зависимости площади треугольника ABC от времени t выражения | 2 + (t/5)| и | 2 - t|. Поэтому при t = 10 площадь может принимать значения 4 и 8.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	7
Название	Псевдоскалярное произведение
Тема	Псевдоскалярное произведение
задача
Номер	13.050