Условие
По трем прямолинейным дорогам с постоянными
скоростями идут три пешехода. В начальный момент времени
они не находились на одной прямой. Докажите, что они
могут оказаться на одной прямой не более двух раз.
Решение
Пусть
v(
t) и
w(
t) — векторы, соединяющие первого
пешехода со вторым и третьим в момент
t. Ясно, что
v(
t) =
ta +
b и
w(
t) =
tc +
d. Пешеходы
находятся на одной прямой тогда и только тогда, когда
v(
t)|
w(
t), т. е.
v(
t)
w(
t) = 0.
Функция
f (
t) =
v(
t)
w(
t) =
t2a c +
t(
a d +
b c) +
b d
является квадратным трехчленом, причем
f (0)
0. Квадратный
трехчлен, не равный тождественно нулю, имеет не более двух корней.
Источники и прецеденты использования
