Задача 57734
|
|
 |
Условие
По трем прямолинейным дорогам с постоянными
скоростями идут три пешехода. В начальный момент времени
они не находились на одной прямой. Докажите, что они
могут оказаться на одной прямой не более двух раз.
Решение
Пусть
v(t) и
w(t) — векторы, соединяющие первого
пешехода со вторым и третьим в момент t. Ясно, что
v(t) = ta + b и
w(t) = tc + d. Пешеходы
находятся на одной прямой тогда и только тогда, когда
v(t)|w(t), т. е.
v(t) w(t) = 0.
Функция
f (t) = v(t)
w(t) = t2a
c + t(a
d + b
c) + b
d
является квадратным трехчленом, причем f (0)
0. Квадратный
трехчлен, не равный тождественно нулю, имеет не более двух корней.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 13 |
| Название | Векторы |
| Тема | Векторы |
| параграф | |
| Номер | 7 |
| Название | Псевдоскалярное произведение |
| Тема | Псевдоскалярное произведение |
| задача | |
| Номер | 13.051 |
